4 вопрос: В треугольнике ABC AB = BC, точка O – центр вписанной окружности, точки D и E – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, угол ABC равен 46°. Чему равен угол DOE?

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. Угол ABC равен 46°. 1. Найдем углы при основании AC: Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то углы BAC и BCA равны: \[\angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 46°}{2} = \frac{134°}{2} = 67°\] 2. Рассмотрим четырехугольник OEAD, где O - центр вписанной окружности, E и D - точки касания окружности со сторонами AB и AC соответственно. OE и OD - радиусы, проведенные в точки касания, поэтому OE перпендикулярна AB, а OD перпендикулярна AC. Следовательно, углы OEA и ODA прямые: \[\angle OEA = \angle ODA = 90°\] 3. Найдем угол EAD. Угол EAD - это угол BAC треугольника ABC, следовательно: \[\angle EAD = \angle BAC = 67°\] 4. Найдем угол DOE в четырехугольнике OEAD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно: \[\angle DOE = 360° - (\angle OEA + \angle EAD + \angle ODA) = 360° - (90° + 67° + 90°) = 360° - 247° = 113°\] Ответ: 113°