Вопросы. 1. Будет ли лежать прямая в плоскости треугольника, если она пересекает две стороны данного треугольника? 2. Какая общая прямая у плоскостей ABC и ADB? 3. Сколько плоскостей можно провести через три точки, лежащие на одной прямой? 4. Можно ли через точку пересечения двух прямых провести прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? 5. Две хорды окружности пересекаются в точке O и лежат в плоскости α. Принадлежит ли данная окружность плоскости α?

Да. Точки пересечения с двумя сторонами принадлежат плоскости треугольника. Если это две различные точки, прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой плоскости.

Общая прямая плоскостей ABC и ADB — AB.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечно много плоскостей: все они содержат эту прямую.

Нет. Две пересекающиеся прямые определяют плоскость; любая прямая, проходящая через точку их пересечения, вместе с одной из этих прямых лежит в некоторой плоскости, но утверждение требует, чтобы прямая не лежала в одной плоскости с обеими. При этом две пересекающиеся прямые и любая прямая через их общую точку всегда компланарны: плоскость, содержащая обе исходные прямые, содержит и точку пересечения, но не обязательно новую прямую. Поэтому ответ зависит от выбранной новой прямой: можно провести прямую через точку пересечения вне исходной плоскости. Тогда она не лежит в одной плоскости с обеими исходными прямыми.

Уточнение: в пространстве через точку пересечения двух прямых можно провести прямую, не лежащую в их плоскости.

Да. Хорды пересекаются в точке O и лежат в плоскости α, значит, обе хорды целиком принадлежат α. Их концы — четыре точки окружности, лежащие в α. Окружность лежит в плоскости, если её центр и радиус задают окружность в этой плоскости; поскольку хорды — непараллельные прямые одной плоскости, центр окружности равноудалён от концов каждой хорды и находится на пересечении серединных перпендикуляров к хордам, которые также лежат в α. Следовательно, вся окружность лежит в α.