Вопросы для повторения к главе VII 1 Что называется отношением двух отрезков? 2 В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональ- ны отрезкам А1В1 и С₁D₁? 3 Дайте определение подобных треугольников. 4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. 5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

Вопросы для повторения к главе VII

1. Что называется отношением двух отрезков?

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, измеренных в одной и той же единице измерения.

2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁?

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если отношение длин отрезков AB и CD равно отношению длин отрезков A₁B₁ и C₁D₁.

3. Дайте определение подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁, причем ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ и AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁ = k. Обозначим площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно S и S₁.

Докажем, что S/S₁ = k².

Так как S = (1/2) * AB * AC * sinA и S₁ = (1/2) * A₁B₁ * A₁C₁ * sinA₁, то S/S₁ = (AB * AC * sinA) / (A₁B₁ * A₁C₁ * sinA₁) = (AB/A₁B₁) * (AC/A₁C₁) * (sinA/sinA₁) = k * k * 1 = k².

5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

Теорема (Первый признак подобия треугольников): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство: Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, причем ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠A₁ - ∠B₁ = ∠C₁.

Следовательно, углы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны.

Докажем теперь, что стороны треугольников ABC и A₁B₁C₁ пропорциональны.

Отложим на стороне AB отрезок A₁B₁ = A₁B₁ и проведем прямую B₁C₂, параллельную AC. Получим треугольник AB₁C₂.

Так как B₁C₂ || AC, то ∠AB₁C₂ = ∠A и ∠AC₂B₁ = ∠C.

Тогда треугольники ABC и AB₁C₂ подобны по первому признаку подобия треугольников.

Следовательно, AB/AB₁ = BC/B₁C₂ = AC/AC₂.

Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то треугольники AB₁C₂ и A₁B₁C₁ равны по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно, AB₁ = A₁B₁, B₁C₂ = B₁C₁ и AC₂ = A₁C₁.

Тогда AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁.

Следовательно, стороны треугольников ABC и A₁B₁C₁ пропорциональны.

Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

Теорема (Второй признак подобия треугольников): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство: Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, причем AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Отложим на стороне AB отрезок A₁B₁ = A₁B₁ и проведем прямую B₁C₂, параллельную AC. Получим треугольник AB₁C₂.

Так как B₁C₂ || AC, то ∠AB₁C₂ = ∠A и ∠AC₂B₁ = ∠C.

Тогда треугольники ABC и AB₁C₂ подобны по первому признаку подобия треугольников.

Следовательно, AB/AB₁ = BC/B₁C₂ = AC/AC₂.

Так как AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁, то AB/AB₁ = AC/A₁C₁.

Следовательно, B₁C₂ = A₁C₁.

Тогда треугольники AB₁C₂ и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, ∠AB₁C₂ = ∠A₁ и ∠AC₂B₁ = ∠C₁.

Таким образом, углы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны.

Кроме того, стороны треугольников ABC и A₁B₁C₁ пропорциональны.

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Ответ: Выше приведены ответы на вопросы для повторения к главе VII.

Молодец! Ты отлично справился с повторением материала. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!