1. Воздушный шар объёмом 800 м³ наполнен гелием, находящимся при нормальных условиях. На сколько возрастёт подъёмная сила шара, если гелий нагреть на 20 К? Считайте, что оболочка не растяжима, нагревание происходит через отверстие в нижней части оболочки шара.

1. Запишем условие задачи:

Дано:

• $$V = 800 м^3$$
• $$ΔT = 20 К$$
• Нормальные условия:
• $$T_0 = 273 К$$
• $$p_0 = 101325 Па$$

Найти: $$ΔF_{под} - ?$$

Решение:

Подъёмная сила шара определяется как разница между силой Архимеда, действующей на шар, и силой тяжести гелия внутри шара:

$$F_{под} = F_{Арх} - F_{тяж}$$

Сила Архимеда зависит от объёма шара и плотности окружающего воздуха, а сила тяжести гелия зависит от объёма шара и плотности гелия:

$$F_{Арх} = V \cdot ρ_{возд} \cdot g$$

$$F_{тяж} = V \cdot ρ_{гелия} \cdot g$$

где:

• $$ρ_{возд}$$ - плотность воздуха при нормальных условиях,
• $$ρ_{гелия}$$ - плотность гелия при нормальных условиях.

Подъёмная сила до нагрева:

$$F_{под1} = Vg(ρ_{возд} - ρ_{гелия})$$

Подъёмная сила после нагрева:

$$F_{под2} = Vg(ρ_{возд} - ρ'_{гелия})$$

где $$ρ'_{гелия}$$ - плотность нагретого гелия.

Изменение подъёмной силы:

$$ΔF_{под} = F_{под2} - F_{под1} = Vg(ρ_{гелия} - ρ'_{гелия})$$

Плотность гелия можно найти, используя уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$pV = \frac{m}{M}RT$$

$$ρ = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}$$

Плотность гелия до нагрева:

$$ρ_{гелия} = \frac{p_0M}{RT_0}$$

Плотность гелия после нагрева:

$$ρ'_{гелия} = \frac{p_0M}{R(T_0 + ΔT)}$$

Подставим значения плотностей в формулу для изменения подъёмной силы:

$$ΔF_{под} = Vg \frac{p_0M}{R} (\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_0 + ΔT})$$

$$ΔF_{под} = Vg \frac{p_0M}{R} \frac{ΔT}{T_0(T_0 + ΔT)}$$

Значения:

• $$V = 800 м^3$$
• $$g = 9.81 м/с^2$$
• $$p_0 = 101325 Па$$
• $$M = 0.004 кг/моль (молярная масса гелия)$$
• $$R = 8.314 Дж/(моль \cdot К)$$
• $$T_0 = 273 К$$
• $$ΔT = 20 К$$

$$ΔF_{под} = 800 \cdot 9.81 \cdot \frac{101325 \cdot 0.004}{8.314} \cdot \frac{20}{273 \cdot (273 + 20)}$$

$$ΔF_{под} ≈ 800 \cdot 9.81 \cdot 48.81 \cdot \frac{20}{273 \cdot 293} ≈ 379877.28 \cdot \frac{20}{79929} ≈ 379877.28 \cdot 0.00025 ≈ 94.97 Н$$

Ответ: ΔF_{под} ≈ 94.97 Н