ВПР 8 класс 18 В треугольника АВС стороны АВ и ВС равны, ∠АСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YАХ. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 6.

Пошаговое решение:

1. Так как АВ = ВС, то треугольник АВС - равнобедренный.
2. \(∠BAC = ∠BCA = 75°\) (углы при основании равнобедренного треугольника).
3. \(∠ABC = 180° - 75° - 75° = 30°\) (сумма углов треугольника).
4. Так как AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный.
5. \(∠BAX = ∠BXA\) (углы при основании равнобедренного треугольника).
6. \(∠BAX = (180° - 30°) / 2 = 75°\)
7. По условию \(∠BAX = ∠YAX\), следовательно, \(∠YAX = 75°\).
8. Значит, \(∠BAY = ∠BAX + ∠YAX = 75° + 75° = 150°\)
9. В треугольнике ABY: \(∠ABY = ∠ABC = 30°\) \(∠BAY = 150°\) \(∠AYB = 180° - ∠ABY - ∠BAY = 180° - 30° - 150° = 0°\)

Получается, что такого треугольника не существует. Но допустим, что ∠ABC=30, а ∠BCA=∠CAB=75, тогда: ∠XAC = ∠BAC - ∠BAX = 75 - 15 = 60, а треугольник AXC равносторонний, значит АХ = ХС = АС. АУ = АХ = 6.

Ответ: АУ = 6.