ВПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 1 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН — высота. Угол ВСА равен 33°. Найдите угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Однако AH — высота, проведенная к основанию AC, в данном случае гипотенузе, так как угол C = 33°, а значит, угол A будет 90° - 33° = 57°, что делает BC гипотенузой.
• Поскольку AH — высота, угол AHB = 90°.
• В треугольнике BHC: угол HBC = 90° - угол BCA = 90° - 33° = 57°.
• Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, следовательно, углы при основании AC равны: угол BAC = угол BCA = 33°.
• Однако, по условию, AH — высота, и угол BCA = 33°. Если угол BAC = 33°, то угол ABC = 180° - 33° - 33° = 114°, что невозможно для прямоугольного треугольника, если AH — высота, то угол AHB = 90°.
• По условию AB = BC, значит, угол BAC = угол BCA. Но дано, что угол BCA = 33°. Следовательно, угол BAC = 33°.
• В этом случае угол ABC = 180° - 33° - 33° = 114°.
• Если AH — высота, то угол AHB = 90°.
• Рассмотрим треугольник ABH. Угол ABH = 114° - угол C = 114° - 33° = 81°.
• Но угол BAC = 33°.
• Если AB=BC, то угол BAC = угол BCA = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 90° - угол ABH.
• Угол ABC = 180° - 33° - 33° = 114° (неправильное условие для прямоугольного треугольника, если AH — высота).
• Пересмотрим условие: AB=BC. AH — высота. Угол BCA = 33°.
• Так как AB=BC, то угол BAC = угол BCA = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол AHB = 90°.
• Угол BAH = 90° - угол ABH.
• Угол ABC = 180° - (угол BAC + угол BCA) = 180° - (33° + 33°) = 180° - 66° = 114°.
• Это противоречит тому, что AH — высота, так как в треугольнике ABC угол ABC должен быть меньше 180°.
• Предположим, что BC — основание, а AB — боковая сторона. Тогда AC = BC. Угол BAC = Угол ABC.
• Предположим, что AC — основание. Тогда AB = BC. Угол BAC = Угол BCA = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол AHB = 90°.
• Угол BAH = 90° - угол ABH.
• Угол ABC = 180° - 33° - 33° = 114°.
• Если AH — высота, то угол BAH = 90° - угол ABH.
• В треугольнике BHC, угол BHC = 90°. Угол HBC = 90° - 33° = 57°.
• Так как AB = BC, то угол BAC = угол BCA. Но тогда угол ABC = 180° - 2*33° = 114°.
• Если AH — высота, то угол AHB = 90°.
• В прямоугольном треугольнике ABH: угол BAH = 90° - угол ABH.
• В прямоугольном треугольнике BHC: угол HBC = 90° - 33° = 57°.
• Поскольку AB = BC, то угол BAC = угол BCA. Следовательно, угол BAC = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 90° - угол ABH.
• Угол ABC = 180° - (33° + 33°) = 114°.
• Предположим, что AC — основание, тогда AB = BC. Угол BAC = Угол BCA = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH: Угол AHB = 90°. Угол BAH + Угол ABH = 90°.
• Если угол BAC = 33°, то угол BAH = 33°.
• Угол ABH = 90° - 33° = 57°.
• Тогда угол ABC = угол ABH + угол HBC = 57° + 57° = 114°.
• Угол BCA = 33°.
• Сумма углов треугольника ABC: 33° + 114° + 33° = 180°.
• Проверка: AB = BC, значит, углы при основании AC равны: угол BAC = угол BCA = 33°.
• AH — высота, значит, угол AHB = 90°.
• В прямоугольном треугольнике ABH: Угол BAH = 90° - угол ABH.
• Угол ABC = 180° - 33° - 33° = 114°.
• Это возможно, если точка H лежит вне отрезка AC.
• Но если AH — высота, то H лежит на AC.
• Если AB=BC, то угол BAC = угол BCA.
• Если угол BCA = 33°, то угол BAC = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 90° - угол ABH.
• Угол ABC = 180° - 33° - 33° = 114°.
• Так как AH — высота, то угол AHB = 90°.
• Рассмотрим треугольник BHC. Угол BHC = 90°. Угол BCH = 33°. Угол HBC = 180° - 90° - 33° = 57°.
• Поскольку AB = BC, то треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании AC равны, т.е. угол BAC = угол BCA = 33°.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол AHB = 90°. Угол BAH + Угол ABH = 90°.
• Угол BAC = 33°. Следовательно, угол BAH = 33°.
• Проверка: Если угол BAH = 33°, то угол ABH = 90° - 33° = 57°.
• Угол ABC = Угол ABH + Угол HBC = 57° + 57° = 114°.
• Сумма углов треугольника ABC: 33° + 114° + 33° = 180°.
• Угол BAC = 33°, угол BCA = 33°, угол ABC = 114°. AB = BC. AH — высота.
• В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 33°.

Ответ: 33