Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные. Пусть $$A$$ – сумма всех цифр, используемых для записи нечётных чисел, $$B$$ – сумма всех цифр, используемых для записи чётных чисел. Чему равно $$A - B$$?

Давайте решим эту задачу. Сначала рассмотрим нечётные и чётные числа в диапазоне от 1 до 1000.

Нечётные числа: 1, 3, 5, ..., 999.

Чётные числа: 2, 4, 6, ..., 1000.

Теперь давайте рассмотрим суммы цифр для каждой группы. Обозначим $$A$$ сумму цифр всех нечётных чисел, а $$B$$ – сумму цифр всех чётных чисел.

Рассмотрим пары чисел, которые отличаются на 1: (1, 2), (3, 4), (5, 6), ..., (997, 998), (999, 1000).

Заметим, что для каждой такой пары нечётное число имеет вид $$2n-1$$, а чётное – $$2n$$, где $$n$$ - натуральное число.

Давайте проанализируем, как меняется сумма цифр при переходе от $$2n-1$$ к $$2n$$.

Рассмотрим числа от 1 до 99. Разобьём их на пары (1, 2), (3, 4), ..., (97, 98), (99). Для каждой пары $$(2n-1, 2n)$$, разница в сумме цифр равна 1, если при переходе от $$2n-1$$ к $$2n$$ не происходит переноса разряда. Если происходит перенос разряда, то разница может быть другой.

Например:

• (1, 2): 1 - 2 = -1
• (3, 4): 3 - 4 = -1
• ...
• (9, 10): 9 - (1+0) = 8
• (11, 12): (1+1) - (1+2) = -1
• (19, 20): (1+9) - (2+0) = 8

Теперь рассмотрим все числа от 1 до 999. Мы можем разбить их на пары (1, 2), (3, 4), ..., (997, 998), (999, 1000). Заметим, что чисел от 1 до 998 ровно 499 пар, и еще есть числа 999 и 1000.

Если рассмотреть все пары чисел, в которых последняя цифра не 9, то разность между суммой цифр четного и нечетного чисел будет равна 1. Таких чисел будет 450.

Если рассмотреть числа вида $$10n-1$$ и $$10n$$, где $$n$$ – целое число, например, 9 и 10, 19 и 20, 29 и 30 и т.д. Разность между суммой цифр будет равна $$10n - (1+0+n) = 9-1 = 8$$. Таких чисел будет 50.

Значит, разность между $$A$$ и $$B$$ будет:

$$A - B = -500$$

Рассуждаем следующим образом. Для каждой пары чисел $$(2n-1, 2n)$$ разность между суммой цифр равна -1 за исключением случаев, когда при переходе от $$2n-1$$ к $$2n$$ происходит перенос через десяток.

Например, для пары (9, 10) разность равна 9 - (1+0) = 8.

Такие переносы происходят для чисел 9, 19, 29, ..., 999, то есть для 100 чисел. Для каждого такого числа разность увеличивается на 9 вместо -1.

Значит, общая разность равна $$-500 + 9 * 50 = -500 + 450 = -50$$.

Далее, числа 999 и 1000. Сумма цифр 999 равна 9+9+9 = 27. Сумма цифр 1000 равна 1+0+0+0 = 1.

Итак, A = ... + 27, а B = ... + 1. Добавляем эти значения к нашей разности.

Разность A - B = -50 + 27 - 1 = -24.

Ответ: -1