Все натуральные делители натурального числа M выписаны по возрастанию. Известно, что произведение третьего и шестого чисел в этом ряду равно M. Сколько делителей у числа M? Найдите наименьшее число M.

Решим задачу по шагам: 1. Обозначим делители числа $$M$$ в порядке возрастания как $$d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, ... , d_n$$, где $$n$$ - количество делителей числа $$M$$. 2. По условию задачи, $$d_3 \cdot d_6 = M$$. 3. Мы знаем, что $$d_1 = 1$$ и $$d_2$$ - наименьший простой делитель числа $$M$$. 4. Также мы знаем, что $$d_n = M$$, $$d_{n-1} = M/d_2$$, $$d_{n-2} = M/d_3$$, и так далее. 5. Если $$d_3 \cdot d_6 = M$$, то $$d_3 \cdot d_6 = d_n$$. Рассмотрим разные варианты количества делителей. * Если у числа $$M$$ всего 6 делителей, то $$d_6 = M$$. Тогда $$d_3 \cdot d_6 = M$$ превращается в $$d_3 \cdot M = M$$, что означает $$d_3 = 1$$. Но это невозможно, так как $$d_3$$ должен быть больше $$d_2$$ и $$d_1 = 1$$. * Значит, число делителей больше 6. Пусть число делителей равно $$n > 6$$. Из условия $$d_3 \cdot d_6 = M$$ следует, что $$d_3$$ и $$d_6$$ - это делители числа $$M$$. Поскольку делители выписаны в порядке возрастания, мы знаем, что $$d_1 = 1$$ и $$d_2 = p$$, где $$p$$ - наименьший простой делитель $$M$$. Тогда $$d_3$$ либо $$p^2$$, либо следующий простой делитель $$q$$, где $$q > p$$. Попробуем найти наименьшее возможное число $$M$$, которое удовлетворяет условиям. Пусть $$M$$ имеет 8 делителей. Тогда $$d_3 \cdot d_6 = M$$. Заметим, что $$d_6 = M/d_3$$, а $$d_3$$ это 3-й по возрастанию делитель, $$d_6$$ это 6-й. Делители $$1, d_2, d_3, ..., d_6, d_7, d_8 = M$$. Предположим, что $$d_2 = 2$$ (то есть 2 - наименьший простой делитель числа M). Тогда делители числа М будут иметь вид: $$1, 2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, M$$. Если $$d_3 = 3$$, то делители будут иметь вид: $$1, 2, 3, d_4, d_5, d_6, d_7, M$$. $$d_6 = M/3$$, и $$d_3 \cdot d_6 = 3 \cdot (M/3) = M$$, что выполняется. Теперь нужно найти такое $$M$$, чтобы $$d_3 = 3$$ и $$d_6 = M/3$$ действительно были 3-м и 6-м делителями соответственно. Рассмотрим число $$M = 2^2 \cdot 3 = 12$$. Делители числа 12: $$1, 2, 3, 4, 6, 12$$. Здесь $$d_3 = 3$$, $$d_6 = 12$$, и $$d_3 \cdot d_6 = 3 \cdot 12 = 36
eq 12$$. Не подходит. Рассмотрим число $$M = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$$. Делители числа 30: $$1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$$. Здесь $$d_3 = 3$$, $$d_6 = 10$$, и $$d_3 \cdot d_6 = 3 \cdot 10 = 30 = M$$. Подходит! Итак, число $$M = 30$$ имеет 8 делителей, и $$d_3 \cdot d_6 = 3 \cdot 10 = 30 = M$$. Это наименьшее число, удовлетворяющее условиям задачи. Ответ: 8 делителей, наименьшее число M = 30