Все рёбра правильной треугольной пирамиды равны 12 см. Найдите радиус вписанного шара.

Краткая запись:

• Ребро пирамиды (a): 12 см
• Найти: Радиус вписанного шара (r_вп) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим площадь основания (S_осн) правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{12^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \) см².
2. Шаг 2: Находим площадь боковой поверхности (S_бок). Каждая грань — равносторонний треугольник. Площадь одной грани: \( S_{гран} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \) см².
   S_бок = 3 * S_гран = \( 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3} \) см².
3. Шаг 3: Находим площадь полной поверхности (S_полн):
   S_полн = S_осн + S_бок = \( 36\sqrt{3} + 108\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \) см².
4. Шаг 4: Находим высоту пирамиды (h). В правильной треугольной пирамиде, где все рёбра равны, высота находится как \( h = \frac{a}{\sqrt{6}} \).
   \( h = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \) см.
5. Шаг 5: Находим объём пирамиды (V):
   \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 24\sqrt{18} = 24 \cdot 3\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \) см³.
6. Шаг 6: Находим радиус вписанного шара (r_вп) по формуле \( r_{вп} = \frac{3V}{S_{полн}} \).
   \( r_{вп} = \frac{3 \cdot 72\sqrt{2}}{144\sqrt{3}} = \frac{216\sqrt{2}}{144\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \) см.

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) см