Все рёбра тетраэдра $$SABC$$ равны. Точки $$M, N, P, R$$ – середины рёбер $$BS, AS, BC, AB$$. Укажите верное утверждение. 1) $$\vec{NM} = -0,5 \vec{AB}$$ 2) $$\vec{NR} = \vec{MP}$$ 3) $$|\vec{PR}| = |\vec{NM}|$$ 4) $$|\vec{MP}| = 2|\vec{SC}|$$

Рассмотрим тетраэдр $$SABC$$, все ребра которого равны. Точки $$M, N, P, R$$ - середины ребер $$BS, AS, BC, AB$$ соответственно. Нам нужно определить, какое из предложенных утверждений верно.

1) $$\vec{NM} = -0,5 \vec{AB}$$. Так как $$N$$ и $$M$$ - середины $$AS$$ и $$BS$$ соответственно, то $$NM$$ является средней линией треугольника $$ASB$$. Следовательно, $$\vec{NM} \parallel \vec{AB}$$ и $$|\vec{NM}| = 0.5 |\vec{AB}|$$. Однако направления векторов $$\vec{NM}$$ и $$\vec{AB}$$ противоположны, поэтому $$\vec{NM} = 0.5 \vec{AB}$$. Это утверждение неверно, так как знак должен быть положительным.

2) $$\vec{NR} = \vec{MP}$$. $$N$$ и $$R$$ - середины $$AS$$ и $$AB$$ соответственно, значит, $$NR$$ - средняя линия треугольника $$ASB$$. $$M$$ и $$P$$ - середины $$BS$$ и $$BC$$ соответственно, значит, $$MP$$ - средняя линия треугольника $$BSC$$. Векторы $$\vec{NR}$$ и $$\vec{MP}$$ параллельны, но не обязательно равны по длине или направлению. Это утверждение, скорее всего, неверно.

3) $$|\vec{PR}| = |\vec{NM}|$$. $$P$$ и $$R$$ - середины $$BC$$ и $$AB$$ соответственно, значит, $$PR$$ - средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$|\vec{PR}| = 0.5 |\vec{AC}|$$. Мы уже знаем, что $$|\vec{NM}| = 0.5 |\vec{AB}|$$. Поскольку все ребра тетраэдра равны, то $$|\vec{AC}| = |\vec{AB}|$$. Значит, $$|\vec{PR}| = |\vec{NM}|$$. Это утверждение верно.

4) $$|\vec{MP}| = 2|\vec{SC}|$$. $$M$$ и $$P$$ - середины $$BS$$ и $$BC$$ соответственно, значит, $$MP$$ - средняя линия треугольника $$BSC$$. Следовательно, $$|\vec{MP}| = 0.5 |\vec{SC}|$$. Это утверждение неверно, так как $$|\vec{MP}|$$ должно быть в два раза меньше $$|\vec{SC}|$$, а не наоборот.

Таким образом, верным является утверждение 3.