4.1 Вторая четверть разделена пополам точкой M, а третья четверть разделена на три равные части точками K и P. Чему равна длина дуги: AM, BK, MP, DC, KA, BP, CB, BC?

Давайте разберемся с этой задачей, используя геометрию и знания об окружности. **Начнем с определения общей структуры:** * Окружность разделена на четыре четверти. Каждая четверть представляет собой дугу, равную 1/4 всей окружности, то есть 90 градусов. * Длина всей окружности равна $$2\pi r$$, где r - радиус окружности. * Длина дуги равна $$L = r \cdot \theta$$, где \theta - угол в радианах, соответствующий дуге. **Исходя из рисунка, радиус (r) нашей окружности равен 1 (единице)**, поскольку указано, что окружность единичная. Теперь посмотрим на каждую дугу: 1. **AM:** Вторая четверть (BC) разделена пополам точкой M. Значит, дуга AM - это половина второй четверти, то есть $$90^\circ / 2 = 45^\circ$$. Переведем в радианы: $$45^\circ = \pi/4$$ радиан. Тогда длина дуги AM равна: $$L_{AM} = 1 \cdot (\pi/4) = \pi/4$$. 2. **BK:** Точка M делит вторую четверть пополам. Значит, чтобы получить дугу BK, нужно из длины всей второй четверти вычесть длину дуги MK, которая равна половине второй четверти. Иными словами, $$L_{BK} = L_{BC} - L_{MC} = \pi/2 - \pi/4 = \pi/4$$. 3. **MP:** Третья четверть разделена на три части точками K и P. Значит, MP - это одна из трех равных частей третьей четверти. Так как третья четверть (CD) равна $$90^\circ$$ или $$\pi/2$$ радиан, то $$L_{MP} = (\pi/2) / 3 = \pi/6$$. 4. **DC:** Это дуга, соответствующая всей третьей четверти. Ее длина составляет $$L_{DC} = \pi/2$$. 5. **KA:** Дуга KA состоит из двух частей третьей четверти (KP и PA) и всей четвертой четверти (AD). Таким образом, $$L_{KA} = (2/3) \cdot (\pi/2) + (\pi/2) = (2\pi)/6 + (3\pi)/6 = (5\pi)/6$$. 6. **BP:** Дуга BP состоит из второй четверти и 1/3 третьей четверти. Значит, $$L_{BP} = \pi/2 + (1/3) \cdot (\pi/2) = \pi/2 + \pi/6 = (3\pi)/6 + \pi/6 = (4\pi)/6 = (2\pi)/3$$. 7. **CB:** Это дуга, соответствующая второй четверти. Ее длина составляет $$L_{CB} = \pi/2$$. 8. **BC:** Это дуга, соответствующая второй четверти. Ее длина составляет $$L_{BC} = \pi/2$$. **Ответы:** * $$AM = \pi/4$$ * $$BK = \pi/4$$ * $$MP = \pi/6$$ * $$DC = \pi/2$$ * $$KA = (5\pi)/6$$ * $$BP = (2\pi)/3$$ * $$CB = \pi/2$$ * $$BC = \pi/2$$ Таким образом, мы нашли длины всех запрошенных дуг. Важно понимать, как части окружности соотносятся друг с другом и как переводить углы из градусов в радианы и обратно.