Для решения этой задачи нам нужно вспомнить формулу объема прямоугольного параллелепипеда и свойства сечений.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. В нашем случае, основание - это прямоугольник $$ABCD$$ со сторонами $$AB = 2$$ см и $$AD = 7$$ см. Высота параллелепипеда - это отрезок, например, $$AA_1$$, который нам нужно найти.
Площадь основания параллелепипеда равна:
$$S_{осн} = AB \cdot AD = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}^2$$Сечение, проходящее через середину ребра $$A_1B_1$$ и ребро $$CD$$, представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна $$CD = AB = 2$$ см. Площадь этого сечения равна $$2\sqrt{65}$$ см$$^2$$.
Пусть $$h$$ - высота параллелепипеда (например, $$AA_1$$). Тогда другая сторона сечения равна $$\sqrt{h^2 + AD^2} = \sqrt{h^2 + 7^2} = \sqrt{h^2 + 49}$$.
Площадь сечения равна:
$$S_{сеч} = 2 \cdot \sqrt{h^2 + 49} = 2\sqrt{65}$$Разделим обе части уравнения на 2:
$$\sqrt{h^2 + 49} = \sqrt{65}$$Возведем обе части в квадрат:
$$h^2 + 49 = 65$$Выразим $$h^2$$:
$$h^2 = 65 - 49 = 16$$Найдем $$h$$:
$$h = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:
$$V = S_{осн} \cdot h = 14 \cdot 4 = 56 \text{ см}^3$$Ответ: 56