Вычисли объём прямоугольного параллелепипеда $$KLMN K_1 L_1 M_1 N_1$$, если диагонали диагонального сечения перпендикулярны, $$KN = 3$$ см, $$KK_1 = \sqrt{11}$$ см. Ответ представить в виде $$V = \sqrt{x}$$ см$$^3$$, где x - целое число.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Вспомним формулу объема прямоугольного параллелепипеда: Объем $$V$$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты: $$V = a \cdot b \cdot c$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - измерения параллелепипеда. 2. Определим измерения нашего параллелепипеда: В нашем случае, $$KN$$ является одной из сторон основания (пусть это будет $$a$$), а $$KK_1$$ является высотой параллелепипеда (то есть $$c$$). Нам нужно найти вторую сторону основания, $$b$$. 3. Используем информацию о диагоналях диагонального сечения: Так как диагонали диагонального сечения перпендикулярны, это значит, что диагональное сечение является квадратом. Следовательно, диагональ основания равна высоте параллелепипеда. То есть, диагональ прямоугольника $$KLMN$$ равна $$\sqrt{11}$$ см. 4. Найдем вторую сторону основания (b): По теореме Пифагора для прямоугольника $$KLMN$$: $$KN^2 + LM^2 = d^2$$, где $$d$$ – диагональ прямоугольника. Так как $$KN = 3$$ и $$d = \sqrt{11}$$, то: $$3^2 + b^2 = (\sqrt{11})^2$$ $$9 + b^2 = 11$$ $$b^2 = 11 - 9$$ $$b^2 = 2$$ $$b = \sqrt{2}$$ 5. Вычислим объем параллелепипеда: Теперь мы знаем все три измерения: $$a = 3$$, $$b = \sqrt{2}$$, $$c = \sqrt{11}$$. Тогда объем: $$V = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{11} = 3 \cdot \sqrt{22} = \sqrt{9 \cdot 22} = \sqrt{198}$$ см$$^3$$. Таким образом, $$V = \sqrt{198}$$ см$$^3$$. 6. Запишем ответ: Если ответ нужно представить в виде квадратного корня из целого числа, то мы уже получили такой ответ. Ответ: $$\sqrt{198}$$