Вычисли объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y = 6x^2, y = 6x.

Для решения этой задачи нам потребуется вычислить объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной двумя заданными функциями, вокруг оси абсцисс. Сначала найдем точки пересечения этих функций, а затем используем интеграл для вычисления объёма. 1. Найдём точки пересечения графиков функций. Приравняем уравнения функций: \[6x^2 = 6x\] \[6x^2 - 6x = 0\] \[6x(x - 1) = 0\] Отсюда получаем два значения для x: \[x_1 = 0, \quad x_2 = 1\] Таким образом, графики функций пересекаются в точках x = 0 и x = 1. 2. Вычислим объём тела вращения. Объём тела вращения, образованного вращением области между двумя кривыми y = f(x) и y = g(x) (где f(x) ≥ g(x)) от x = a до x = b вокруг оси x, вычисляется по формуле: \[V = \pi \int_a^b [f(x)^2 - g(x)^2] dx\] В нашем случае f(x) = 6x, g(x) = 6x^2, a = 0, b = 1. Следовательно, \[V = \pi \int_0^1 [(6x)^2 - (6x^2)^2] dx\] \[V = \pi \int_0^1 [36x^2 - 36x^4] dx\] \[V = 36\pi \int_0^1 [x^2 - x^4] dx\] \[V = 36\pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1\] \[V = 36\pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)\] \[V = 36\pi \left(\frac{5 - 3}{15}\right)\] \[V = 36\pi \cdot \frac{2}{15}\] \[V = \frac{72\pi}{15}\] \[V = \frac{24\pi}{5}\] Итак, объём тела вращения равен \(\frac{24\pi}{5}\). Значит, в поле ответа нужно ввести \(\frac{24}{5}\). Ответ: V = 24/5 π Чтобы понять, объём какого тела необходимо еще вычислить в ходе решения задачи, нам нужно посмотреть на исходные функции и область, которую они ограничивают. Здесь нужно вычислить тело, полученное при вращении криволинейной трапеции. Ответ: тело, полученное при вращении криволинейной трапеции