Вычисли площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, если известно, что центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Обозначения: * Пусть ( a ) и ( b ) - основания трапеции, где ( a = 12 ) см (меньшее основание) и ( b = 20 ) см (большее основание). * Так как центр окружности находится на большем основании, это означает, что большее основание является диаметром окружности. Обозначим радиус окружности как ( R ), тогда ( 2R = b = 20 ) см, следовательно, ( R = 10 ) см. * Трапеция равнобедренная, значит, боковые стороны равны. Обозначим боковую сторону как ( c ). * Высоту трапеции обозначим как ( h ). 2. Нахождение боковой стороны ( c ): * В равнобедренной трапеции боковая сторона ( c ) может быть найдена, если трапецию можно вписать в окружность. В этом случае выполняется условие ( a + b = 2c ). * Подставим известные значения: ( 12 + 20 = 2c ), следовательно, ( 32 = 2c ) и ( c = 16 ) см. 3. Нахождение высоты ( h ): * Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Это разделит большее основание на три отрезка: ( (b - a) / 2 ), ( a ), и ( (b - a) / 2 ). * Длина отрезка ( (b - a) / 2 = (20 - 12) / 2 = 8 / 2 = 4 ) см. * Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ): ( h^2 + ((b - a) / 2)^2 = c^2 ). * Подставим известные значения: ( h^2 + 4^2 = 16^2 ), следовательно, ( h^2 + 16 = 256 ). * ( h^2 = 256 - 16 = 240 ), значит, ( h = \sqrt{240} = 4\sqrt{15} ) см. 4. Нахождение площади ( S ): * Площадь трапеции находится по формуле: ( S = \frac{a + b}{2} cdot h ). * Подставим известные значения: ( S = \frac{12 + 20}{2} cdot 4\sqrt{15} ). * ( S = \frac{32}{2} cdot 4\sqrt{15} = 16 cdot 4\sqrt{15} = 64\sqrt{15} ) см(^2). 5. Оценка значения: * Так как \(\sqrt{15} \approx 3.87\), то \(64 \cdot \sqrt{15} \approx 64 \cdot 3.87 \approx 247.68\) см(^2\). Ответ: (64\sqrt{15}) см(^2)