Вычисли производную частного функций, используя формулу вычисления производной логарифмированием: ((\frac{u^7}{v^4})')

Для вычисления производной частного функций ((\frac{u^7}{v^4})') с использованием логарифмического дифференцирования, мы можем использовать следующую формулу: Если у нас есть функция (y = \frac{u(x)}{v(x)}), то производная (y') может быть найдена с использованием логарифмического дифференцирования: 1. Логарифмируем обе части уравнения: $$\ln(y) = \ln(\frac{u(x)}{v(x)})$$ 2. Используем свойства логарифмов: $$\ln(y) = \ln(u(x)) - \ln(v(x))$$ 3. Дифференцируем обе части по (x): $$\frac{y'}{y} = \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)}$$ 4. Находим (y'): $$y' = y \cdot (\frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)})$$ В нашем случае у нас есть функция (y = \frac{u^7}{v^4}). Применим логарифмическое дифференцирование: 1. Логарифмируем обе части: $$\ln(y) = \ln(\frac{u^7}{v^4})$$ 2. Используем свойства логарифмов: $$\ln(y) = 7\ln(u) - 4\ln(v)$$ 3. Дифференцируем обе части по (x): $$\frac{y'}{y} = 7\frac{u'}{u} - 4\frac{v'}{v}$$ 4. Находим (y'): $$y' = y \cdot (7\frac{u'}{u} - 4\frac{v'}{v})$$ 5. Подставляем (y = \frac{u^7}{v^4}): $$y' = \frac{u^7}{v^4} \cdot (7\frac{u'}{u} - 4\frac{v'}{v})$$ 6. Упрощаем выражение: $$y' = \frac{u^7}{v^4} \cdot (\frac{7u'v - 4uv'}{uv})$$ 7. Окончательно получаем: $$y' = \frac{u^7}{v^4} (\frac{7u'v - 4uv'}{uv}) = \frac{u^6}{v^5} (7u'v - 4uv')$$ Таким образом, заполняя пропуски, получаем: ((\frac{u^7}{v^4})' = (\frac{u^7}{v^4}) (\frac{7}{u} u' - \frac{4}{v} v') = \frac{u^6}{v^5} (7u'v - 4uv')) Итак, в пропуски нужно вставить: * В первой дроби: 7 и 4 * В скобках: 7 и 4 Ответ: ((\frac{u^7}{v^4})' = (\frac{u^7}{v^4}) (\frac{7}{u} u' - \frac{4}{v} v') = \frac{u^6}{v^5} (7u'v - 4uv'))