Вычисли производную произведения функций, используя формулу вычисления производной логарифмированием: (u^9v^7z^4)' = ?

Разберем по шагам, как вычислить производную произведения функций, используя логарифмическое дифференцирование. 1. Записываем функцию: Исходная функция имеет вид: \[ y = u^9v^7z^4 \] 2. Логарифмируем обе части: Применяем натуральный логарифм к обеим частям уравнения: \[ \ln(y) = \ln(u^9v^7z^4) \] Используем свойство логарифмов (\(\ln(abc) = \ln(a) + \ln(b) + \ln(c)\)): \[ \ln(y) = \ln(u^9) + \ln(v^7) + \ln(z^4) \] Используем свойство логарифмов (\(\ln(a^b) = b \ln(a)\)): \[ \ln(y) = 9\ln(u) + 7\ln(v) + 4\ln(z) \] 3. Дифференцируем обе части по \(x\): Берем производную от обеих частей уравнения по переменной \(x\): \[ \frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{d}{dx}(9\ln(u) + 7\ln(v) + 4\ln(z)) \] Используем правило производной сложной функции и свойства производной логарифма: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 9\frac{1}{u} \frac{du}{dx} + 7\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} + 4\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} \] 4. Выражаем \(\frac{dy}{dx}\): Умножаем обе части на \(y\) чтобы выразить \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = y \left( 9\frac{u'}{u} + 7\frac{v'}{v} + 4\frac{z'}{z} \right) \] Заменяем \(y\) на исходную функцию \(u^9v^7z^4\): \[ \frac{dy}{dx} = u^9v^7z^4 \left( 9\frac{u'}{u} + 7\frac{v'}{v} + 4\frac{z'}{z} \right) \] 5. Упрощаем выражение: Распределяем \(u^9v^7z^4\) по членам в скобках: \[ \frac{dy}{dx} = 9u^8v^7z^4u' + 7u^9v^6z^4v' + 4u^9v^7z^3z' \] Таким образом, производная произведения функций равна: \[ (u^9v^7z^4)' = 9u^8v^7z^4u' + 7u^9v^6z^4v' + 4u^9v^7z^3z' \] Теперь заполним пропуски в предоставленной форме: \[ (u^9v^7z^4)' = (9u v z) (u'vz + uv'z + uvz') \] И, соответственно, заполняем пропуски: \[ (u^9v^7z^4)' = (9u v z) (u'vz + 7uv'z + 4uvz') \] * Первый пропуск: 9 * Второй пропуск: 7 * Третий пропуск: 4 * Четвертый пропуск: 9 * Пятый пропуск: 7 * Шестой пропуск: 4 Финальный ответ: \[ (u^9v^7z^4)' = (9u^8v^7z^4u' + 7u^9v^6z^4v' + 4u^9v^7z^3z') \]