Вычисли радиус окружности, вписанной в ромб, если \(\angle KLM = 60^\circ\) и \(MO = 8\) мм, а площадь ромба равна \(128\sqrt{3}\) мм².

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Вспомним свойства ромба и формулы площадей.** - Площадь ромба можно найти как \(S = a^2 \cdot \sin(\alpha)\), где \(a\) - сторона ромба, а \(\alpha\) - угол ромба. - Площадь ромба также можно найти как \(S = a \cdot h\), где \(a\) - сторона ромба, \(h\) - высота ромба. - Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба: \(r = \frac{h}{2}\). 2. **Найдем сторону ромба.** Используем формулу площади ромба \(S = a^2 \cdot \sin(\alpha)\). В нашем случае \(S = 128\sqrt{3}\) мм² и \(\alpha = 60^\circ\). Синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(128\sqrt{3} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) Чтобы найти \(a^2\), разделим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(a^2 = \frac{128\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 128\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 128 \cdot 2 = 256\) Значит, \(a = \sqrt{256} = 16\) мм. 3. **Найдем высоту ромба.** Теперь используем формулу площади ромба \(S = a \cdot h\), где \(a = 16\) мм и \(S = 128\sqrt{3}\) мм². \(128\sqrt{3} = 16 \cdot h\) Чтобы найти \(h\), разделим обе части уравнения на 16: \(h = \frac{128\sqrt{3}}{16} = 8\sqrt{3}\) мм. 4. **Найдем радиус вписанной окружности.** Радиус равен половине высоты ромба: \(r = \frac{h}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) мм. Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(4\sqrt{3}\) мм. **Ответ:** \(r = 4\sqrt{3}\) мм.