Вычислить частные производные первого порядка ($$z'_x$$, $$z'_y$$) функции $$z = e^{xy^2}$$ в точке (0, 1).

Для решения этой задачи нам нужно найти частные производные функции $$z = e^{xy^2}$$ по переменным $$x$$ и $$y$$, а затем вычислить их значения в точке (0, 1). 1. Находим частную производную по x ($$z'_x$$): $$z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{xy^2} = y^2 e^{xy^2}$$ 2. Находим частную производную по y ($$z'_y$$): $$z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{xy^2} = e^{xy^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (xy^2) = e^{xy^2} \cdot 2xy = 2xy e^{xy^2}$$ 3. Вычисляем значения частных производных в точке (0, 1): * Для $$z'_x$$: $$z'_x(0, 1) = (1)^2 e^{(0)(1)^2} = 1 \cdot e^0 = 1$$ * Для $$z'_y$$: $$z'_y(0, 1) = 2(0)(1) e^{(0)(1)^2} = 0 \cdot e^0 = 0$$ Таким образом, частные производные в точке (0, 1) равны $$z'_x(0, 1) = 1$$ и $$z'_y(0, 1) = 0$$. Ответ: (1, 0)