Вычислить интеграл методом интегрирования по частям: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2x \cos x dx$$

Для решения интеграла $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2x \cos x dx$$ методом интегрирования по частям, воспользуемся формулой $$\int u dv = uv - \int v du$$. 1. Определим u и dv: * Пусть $$u = 2x$$, тогда $$du = 2 dx$$. * Пусть $$dv = \cos x dx$$, тогда $$v = \int \cos x dx = \sin x$$. 2. Применим формулу интегрирования по частям: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2x \cos x dx = \left[2x \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2 \sin x dx$$ 3. Вычислим первое слагаемое и интеграл: $$\left[2x \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{3} - 2 \cdot 0 \cdot \sin 0 = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\pi \sqrt{3}}{3}$$ $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2 \sin x dx = \left[-2 \cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -2 \cos \frac{\pi}{3} - (-2 \cos 0) = -2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$$ 4. Подставим полученные значения обратно в формулу: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 2x \cos x dx = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} - 1$$ Таким образом, интеграл равен $$\frac{\pi \sqrt{3}}{3} - 1$$. Ответ: $$\frac{\pi \sqrt{3}}{3} - 1$$