Вычислить квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах $$\vec{a} = \vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}$$, $$\vec{b} = -\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}$$.

Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, необходимо вычислить модуль векторного произведения этих векторов. 1. Найдем векторное произведение $$\vec{a} \times \vec{b}$$: $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(4) - (2)(3)) - \vec{j}((1)(4) - (2)(-1)) + \vec{k}((1)(3) - (-3)(-1)) = \vec{i}(-12 - 6) - \vec{j}(4 + 2) + \vec{k}(3 - 3) = -18\vec{i} - 6\vec{j} + 0\vec{k}$$ Таким образом, $$\vec{a} \times \vec{b} = -18\vec{i} - 6\vec{j} + 0\vec{k}$$. 2. Вычислим модуль векторного произведения $$|\vec{a} \times \vec{b}|$$, который равен площади параллелограмма: $$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-18)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{324 + 36 + 0} = \sqrt{360}$$ 3. Найдем квадрат площади параллелограмма: $$(\sqrt{360})^2 = 360$$ Ответ: 360