Контрольные задания > Вычислить неопределенный интеграл $\int (5x^3 - 4x^2 + 7)dx$
Вопрос:

Вычислить неопределенный интеграл $$\int (5x^3 - 4x^2 + 7)dx$$

Ответ:

Для вычисления неопределенного интеграла $$\int (5x^3 - 4x^2 + 7)dx$$, мы можем разбить интеграл на сумму интегралов и использовать правило интегрирования степенной функции, которое гласит, что $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$, где C - константа интегрирования.
  1. Разбиваем интеграл на сумму интегралов:$$\int (5x^3 - 4x^2 + 7)dx = \int 5x^3 dx - \int 4x^2 dx + \int 7 dx$$
  2. Выносим константы из-под знака интеграла:$$\int 5x^3 dx - \int 4x^2 dx + \int 7 dx = 5\int x^3 dx - 4\int x^2 dx + 7\int dx$$
  3. Применяем правило интегрирования степенной функции к каждому интегралу:$$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = \frac{x^4}{4} + C_1$$$$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{x^3}{3} + C_2$$$$\int dx = x + C_3$$
  4. Подставляем полученные результаты обратно в выражение:$$5\int x^3 dx - 4\int x^2 dx + 7\int dx = 5\left(\frac{x^4}{4}\right) - 4\left(\frac{x^3}{3}\right) + 7x + C$$где C - общая константа интегрирования, которая объединяет $$C_1$$, $$C_2$$ и $$C_3$$.
  5. Упрощаем выражение:$$5\left(\frac{x^4}{4}\right) - 4\left(\frac{x^3}{3}\right) + 7x + C = \frac{5x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 7x + C$$
Таким образом, неопределенный интеграл равен:
Ответ: $$\frac{5x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 7x + C$$
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие