Вычислить объём и площадь поверхности призмы. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, высота призмы равна $$9\sqrt{3}$$ см.

Решение: 1. Найдём площадь основания призмы: Основание призмы - правильный треугольник, т.е. равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] где *a* - сторона треугольника. В нашем случае, *a* = 8 см. Подставляем значение: \[S_{осн} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \, см^2\] 2. Найдём объём призмы: Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \[V = S_{осн} \cdot h\] где *h* - высота призмы. В нашем случае, $$h = 9\sqrt{3}$$ см. Подставляем значения: \[V = 16\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3} = 16 \cdot 9 \cdot 3 = 144 \cdot 3 = 432 \, см^3\] 3. Найдём площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания (равностороннего треугольника) равен: \[P = 3a = 3 \cdot 8 = 24 \, см\] Тогда площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot 9\sqrt{3} = 216\sqrt{3} \, см^2\] 4. Найдём площадь полной поверхности призмы: Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\] Подставляем значения: \[S_{полн} = 216\sqrt{3} + 2 \cdot 16\sqrt{3} = 216\sqrt{3} + 32\sqrt{3} = 248\sqrt{3} \, см^2\] Ответы: Объём призмы равен 432 $$см^3$$. Площадь поверхности призмы равна $$248\sqrt{3}$$ $$см^2$$.