Вычислить объём призмы, если основанием прямой призмы является трапеция с основаниями 5 см и 47 см и боковыми сторонами 26 см и 40 см. Высота призмы равна 10 см.

Для вычисления объема призмы, основанием которой является трапеция, необходимо сначала найти площадь основания, а затем умножить её на высоту призмы. 1. Площадь трапеции: Площадь трапеции можно найти по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где (a) и (b) - длины оснований трапеции, а (h) - высота трапеции. 2. Нахождение высоты трапеции: В данном случае у нас известны основания трапеции (5 см и 47 см) и боковые стороны (26 см и 40 см). Чтобы найти высоту трапеции, можно воспользоваться дополнительными построениями и теоремой Пифагора. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Тогда большее основание разделится на три отрезка: x, 5 и y. Имеем: x + 5 + y = 47, откуда x + y = 42. Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотами, боковыми сторонами и отрезками x и y. Пусть высота трапеции равна h. Тогда: \[h^2 + x^2 = 26^2\] \[h^2 + y^2 = 40^2\] Выразим (x^2) и (y^2): \[x^2 = 26^2 - h^2\] \[y^2 = 40^2 - h^2\] Тогда x = \(\sqrt{26^2 - h^2}\) и y = \(\sqrt{40^2 - h^2}\). Подставим x и y в уравнение x + y = 42: \[\sqrt{26^2 - h^2} + \sqrt{40^2 - h^2} = 42\] \[\sqrt{676 - h^2} + \sqrt{1600 - h^2} = 42\] Выразим один из корней: \[\sqrt{1600 - h^2} = 42 - \sqrt{676 - h^2}\] Возведем обе части в квадрат: \[1600 - h^2 = 1764 - 84\sqrt{676 - h^2} + 676 - h^2\] \[1600 = 2440 - 84\sqrt{676 - h^2}\] \[84\sqrt{676 - h^2} = 840\] \[\sqrt{676 - h^2} = 10\] Возведем обе части в квадрат: \[676 - h^2 = 100\] \[h^2 = 576\] \[h = \sqrt{576} = 24\] Таким образом, высота трапеции равна 24 см. 3. Площадь основания призмы (трапеции): Теперь мы можем вычислить площадь трапеции: \[S = \frac{5 + 47}{2} \cdot 24 = \frac{52}{2} \cdot 24 = 26 \cdot 24 = 624 \text{ см}^2\] 4. Объем призмы: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \[V = S \cdot H = 624 \cdot 10 = 6240 \text{ см}^3\] Ответ: Объем призмы равен 6240 см³.