Вычислить определенный интеграл: a) $$\int_{-2}^{0} x^2 e^{-\frac{x}{2}} dx$$ б) $$\int_{3}^{6} \frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4} dx$$

Решение интеграла а): $$\int_{-2}^{0} x^2 e^{-\frac{x}{2}} dx$$ Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $$\int u dv = uv - \int v du$$ Пусть $$u = x^2$$ и $$dv = e^{-\frac{x}{2}} dx$$. Тогда: $$du = 2x dx$$ Чтобы найти $$v$$, нужно проинтегрировать $$dv$$: $$v = \int e^{-\frac{x}{2}} dx = -2e^{-\frac{x}{2}}$$ Теперь подставим в формулу интегрирования по частям: $$\int x^2 e^{-\frac{x}{2}} dx = -2x^2 e^{-\frac{x}{2}} - \int (-2) (2x) e^{-\frac{x}{2}} dx = -2x^2 e^{-\frac{x}{2}} + 4 \int x e^{-\frac{x}{2}} dx$$ Теперь нужно вычислить интеграл $$\int x e^{-\frac{x}{2}} dx$$. Снова используем интегрирование по частям. Пусть $$u = x$$ и $$dv = e^{-\frac{x}{2}} dx$$. Тогда: $$du = dx$$ $$v = \int e^{-\frac{x}{2}} dx = -2e^{-\frac{x}{2}}$$ $$\int x e^{-\frac{x}{2}} dx = -2x e^{-\frac{x}{2}} - \int (-2) e^{-\frac{x}{2}} dx = -2x e^{-\frac{x}{2}} + 2 \int e^{-\frac{x}{2}} dx = -2x e^{-\frac{x}{2}} - 4e^{-\frac{x}{2}}$$ Подставим это обратно в первое уравнение: $$\int x^2 e^{-\frac{x}{2}} dx = -2x^2 e^{-\frac{x}{2}} + 4(-2x e^{-\frac{x}{2}} - 4e^{-\frac{x}{2}}) = -2x^2 e^{-\frac{x}{2}} - 8x e^{-\frac{x}{2}} - 16e^{-\frac{x}{2}}$$ Теперь вычислим определенный интеграл от -2 до 0: $$\int_{-2}^{0} x^2 e^{-\frac{x}{2}} dx = \left[ -2x^2 e^{-\frac{x}{2}} - 8x e^{-\frac{x}{2}} - 16e^{-\frac{x}{2}} \right]_{-2}^{0}$$ Подставим верхний предел (0): $$-2(0)^2 e^{-\frac{0}{2}} - 8(0) e^{-\frac{0}{2}} - 16e^{-\frac{0}{2}} = -16$$ Подставим нижний предел (-2): $$-2(-2)^2 e^{-\frac{-2}{2}} - 8(-2) e^{-\frac{-2}{2}} - 16e^{-\frac{-2}{2}} = -8e + 16e - 16e = -8e$$ Вычтем нижний предел из верхнего: $$-16 - (-8e) = -16 + 8e$$ Ответ: $$8e - 16$$ Решение интеграла б): $$\int_{3}^{6} \frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4} dx$$ Пусть $$x = 3 \sec(\theta)$$, тогда $$dx = 3 \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta$$. Также, $$\sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{9 \sec^2(\theta) - 9} = \sqrt{9(\sec^2(\theta) - 1)} = 3 \tan(\theta)$$. Новые пределы интегрирования: Когда $$x = 3$$, $$3 = 3 \sec(\theta) \Rightarrow \sec(\theta) = 1 \Rightarrow \theta = 0$$. Когда $$x = 6$$, $$6 = 3 \sec(\theta) \Rightarrow \sec(\theta) = 2 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$$. Теперь подставим в интеграл: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3 \tan(\theta)}{(3 \sec(\theta))^4} 3 \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{9 \tan^2(\theta) \sec(\theta)}{81 \sec^4(\theta)} d\theta = \frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^2(\theta)}{\sec^3(\theta)} d\theta$$ Так как $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$ и $$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$$, то $$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)} \cos^3(\theta) d\theta = \frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2(\theta) \cos(\theta) d\theta$$ Пусть $$u = \sin(\theta)$$, тогда $$du = \cos(\theta) d\theta$$. $$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^2 du = \frac{1}{9} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{27} \left[ u^3 \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{27} \left( \frac{3\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{\sqrt{3}}{72}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{72}$$