Вычислить периметр и площадь ромба, если \(\angle MLK = 60^\circ\) и \(OM = 1\) дм, а радиус вписанной окружности равен 0,87 дм.

Разберем задачу поэтапно. 1. Найдем сторону ромба \(a\). * В ромбе \(MLKN\) диагонали являются биссектрисами углов. Значит, \(\angle OLK = \frac{1}{2} \angle MLK = \frac{1}{2} cdot 60^\circ = 30^\circ\). * Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OLK\). В нем \(OK\) - радиус вписанной окружности, то есть \(OK = 0,87\) дм. \(OL\) - половина диагонали, и по условию \(OL = OM = 1\) дм. * Используем тангенс угла \(\angle OLK\): \[\tan(\angle OLK) = \frac{OK}{OL}\] \[\tan(30^\circ) = \frac{0,87}{OL}\] Но мы уже знаем \(OL\), нам нужно найти сторону ромба \(LK = a\). * Чтобы найти сторону ромба, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны ромба, радиусом вписанной окружности и линией, соединяющей центр окружности с вершиной угла ромба. Обозначим половину стороны ромба как \(x\). Тогда, используя синус угла 30 градусов: \[\sin(30^\circ) = \frac{OK}{a} = \frac{0.87}{a}\] Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), то: \[\frac{1}{2} = \frac{0.87}{a}\] Отсюда: \[a = 2 \cdot 0.87 = 1.74\] дм 2. Вычислим периметр ромба \(P\). * Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон, а так как все стороны равны, то: \[P = 4a = 4 \cdot 1.74 = 6.96\] дм 3. Вычислим площадь ромба \(S\). * Площадь ромба можно вычислить как произведение стороны на высоту, или как половину произведения диагоналей. В данном случае, мы знаем радиус вписанной окружности и сторону ромба. Высота ромба равна двум радиусам вписанной окружности, то есть \(h = 2 \cdot 0.87 = 1.74\) дм. * Тогда площадь ромба: \[S = a \cdot h = 1.74 \cdot 1.74 = 3.0276\] дм² Округлим до сотых: \[S \approx 3.03\] дм² Ответ: Периметр ромба: 6.96 дм Площадь ромба: 3.03 дм²