Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограничен y = 4−x², y = 0.

Решение:

Криволинейная трапеция ограничена параболой \( y = 4 - x^2 \) и осью абсцисс \( y = 0 \).

Найдем точки пересечения кривой с осью \( x \):

\[ 4 - x^2 = 0 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

Площадь криволинейной трапеции вычисляется как определённый интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \]

\[ S = \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \]

\[ S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \]

\[ S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \]

\[ S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{32}{3} \).