Вычислить пределы функции. Вариант 2. 4. \(\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(1+\sqrt{x+1}\):

\(\frac{1-\sqrt{x+1}}{x}\cdot\frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{1-(x+1)}{x(1+\sqrt{x+1})}=\frac{-x}{x(1+\sqrt{x+1})}\).

При \(x\ne0\) сокращаем \(x\) и находим предел: \(\lim_{x\to0}\frac{-1}{1+\sqrt{x+1}}=-\frac12\).

Ответ: \(-\frac12\).