Вычислить производную произведения функций, используя формулу вычисления производной логарифмированием: $$(u^6v^4z^4)' = ?$$

Для вычисления производной произведения функций, воспользуемся формулой логарифмического дифференцирования. Сначала представим функцию $$y = u^6v^4z^4$$. Затем прологарифмируем обе части: $$\ln(y) = \ln(u^6v^4z^4) = 6\ln(u) + 4\ln(v) + 4\ln(z)$$ Теперь продифференцируем обе части по $$x$$: $$\frac{y'}{y} = 6\frac{u'}{u} + 4\frac{v'}{v} + 4\frac{z'}{z}$$ Умножим обе части на $$y = u^6v^4z^4$$: $$y' = u^6v^4z^4 \left(6\frac{u'}{u} + 4\frac{v'}{v} + 4\frac{z'}{z}\right) = 6u^5v^4z^4u' + 4u^6v^3z^4v' + 4u^6v^4z^3z'$$ Вынесем общий множитель $$u^5v^3z^3$$ за скобки: $$y' = u^5v^3z^3(6vu'z + 4uv'z + 4uvz')$$ Таким образом, пропущенные значения будут такими: $$(u^6v^4z^4)' = (u^6v^4z^4)(6 \frac{u'}{u} + 4 \frac{v'}{v} + 4 \frac{z'}{z}) = u^5v^3z^3(6vu'z + 4uv'z + 4uvz')$$