Вычисление производных сложных функций

4) $$y = \ln(\tan(\frac{x}{2}))$$

Для начала, найдем производную внешней функции, т.е. логарифма:

$$y' = \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} \cdot (\tan(\frac{x}{2}))'$$

Теперь найдем производную тангенса:

$$(\tan(\frac{x}{2}))' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot (\frac{x}{2})'$$

И производную $$\frac{x}{2}$$:

$$(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$$

Собираем все вместе:

$$y' = \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})} = \frac{1}{\sin(x)}$$

Используя формулу $$sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$.

И так,

$$y' = \frac{1}{\sin(x)}$$

Ответ: $$y' = \frac{1}{\sin(x)}$$

5) $$y = \sin(x^2 + 5x + 2)$$.

Находим производную синуса:

$$y' = \cos(x^2 + 5x + 2) \cdot (x^2 + 5x + 2)'$$

Находим производную многочлена:

$$(x^2 + 5x + 2)' = 2x + 5$$

Собираем вместе:

$$y' = (2x + 5) \cos(x^2 + 5x + 2)$$

Ответ: $$y' = (2x + 5) \cos(x^2 + 5x + 2)$$

6) $$y = \ln(1 + \cos(x))$$

Находим производную логарифма:

$$y' = \frac{1}{1 + \cos(x)} \cdot (1 + \cos(x))'$$

Находим производную выражения в скобках:

$$(1 + \cos(x))' = -\sin(x)$$

Собираем вместе:

$$y' = \frac{-\sin(x)}{1 + \cos(x)}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$(1-\cos(x))$$. Тогда получим:

$$y' = \frac{-\sin(x)(1-\cos(x))}{1 - \cos^2(x)} = \frac{-\sin(x)(1-\cos(x))}{\sin^2(x)} = \frac{\cos(x) - 1}{\sin(x)}$$

Ответ: $$y' = \frac{-\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{\cos(x) - 1}{\sin(x)}$$