Вычислить производные:

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы будем вычислять производные функций. Я постараюсь объяснить все максимально подробно и понятно. **1. Производная функции y = 2cos(1/2x - 2π)** * **Шаг 1: Вспомним правило производной сложной функции.** Если у нас есть функция вида y = f(g(x)), то ее производная находится по формуле: \[y' = f'(g(x)) * g'(x)\] В нашем случае: * f(u) = 2cos(u) * g(x) = 1/2x - 2π * **Шаг 2: Найдем производную внешней функции f(u).** Производная косинуса равна минус синусу. Учитывая коэффициент 2: \[f'(u) = -2sin(u)\] * **Шаг 3: Найдем производную внутренней функции g(x).** Производная 1/2x равна 1/2, а производная константы (-2π) равна 0. \[g'(x) = 1/2\] * **Шаг 4: Подставим все в формулу производной сложной функции.** \[y' = -2sin(1/2x - 2π) * 1/2\] * **Шаг 5: Упростим выражение.** \[y' = -sin(1/2x - 2π)\] * **Ответ:** \[y' = -sin(1/2x - 2π)\] **2. Производная функции y = x^5 - 21/(3x^3) + 6x - 7** * **Шаг 1: Упростим функцию.** Прежде чем брать производную, упростим выражение: \[y = x^5 - 7x^{-3} + 6x - 7\] * **Шаг 2: Вспомним правило производной степени.** Если y = x^n, то y' = n*x^(n-1) * **Шаг 3: Найдем производную каждого слагаемого.** * Производная x^5 равна 5x^4 * Производная -7x^(-3) равна (-7)*(-3)*x^(-4) = 21x^(-4) * Производная 6x равна 6 * Производная константы -7 равна 0 * **Шаг 4: Запишем производную функции.** \[y' = 5x^4 + 21x^{-4} + 6\] * **Шаг 5: Упростим выражение (вернем отрицательную степень в знаменатель).** \[y' = 5x^4 + \frac{21}{x^4} + 6\] * **Ответ:** \[y' = 5x^4 + \frac{21}{x^4} + 6\] **3. Производная функции y = (x^3 - 3x)/(1 + 4x^5)** * **Шаг 1: Вспомним правило производной частного.** Если у нас есть функция вида y = u(x)/v(x), то ее производная находится по формуле: \[y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\] В нашем случае: * u(x) = x^3 - 3x * v(x) = 1 + 4x^5 * **Шаг 2: Найдем производную u(x).** \[u'(x) = 3x^2 - 3\] * **Шаг 3: Найдем производную v(x).** \[v'(x) = 20x^4\] * **Шаг 4: Подставим все в формулу производной частного.** \[y' = \frac{(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) - (x^3 - 3x)(20x^4)}{(1 + 4x^5)^2}\] * **Шаг 5: Упростим выражение (раскроем скобки и приведем подобные слагаемые).** \[y' = \frac{3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5 - 20x^7 + 60x^5}{(1 + 4x^5)^2}\] \[y' = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}\] * **Ответ:** \[y' = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}\] **Правая сторона страницы** **1. Производная функции y = x^7 -** Эта функция не завершена. Предположим, что функция y = x^7. Тогда её производная: Если y = x^7, то y' = 7*x^(7-1) \[y' = 7x^6\] * **Ответ:** \[y' = 7x^6\] **2. Производная функции y = 3** Производная константы равна нулю. \[y' = 0\] * **Ответ:** \[y' = 0\] **3. Производная функции y = (** Эта функция не завершена. Невозможно вычислить производную.