Вычислить скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, если $$\vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}$$, $$\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{b}$$, $$|\vec{a}| = 2$$, $$|\vec{b}| = 3$$, угол между $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ равен 60°, $$\vec{c} \perp \vec{a}$$, $$\vec{c} \perp \vec{b}$$

Для решения задачи нам нужно вычислить скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, заданных через векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$. Вектор $$\vec{c}$$ перпендикулярен $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, следовательно, скалярные произведения $$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$$ и $$\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$$. Также известны длины векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ и угол между ними.

1. Выразим скалярное произведение $$\vec{m} \cdot \vec{n}$$ через $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$:

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$$

2. Раскроем скобки:

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) + (\vec{c} \cdot \vec{b})$$

3. Упростим выражение, учитывая, что $$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$$ и $$\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$$, а также, что $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$$:

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$$

4. Вспомним, что $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$$, где $$\theta$$ - угол между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$, который равен 60°:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

5. Подставим известные значения $$|\vec{a}| = 2$$, $$|\vec{b}| = 3$$ и $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$$ в выражение для скалярного произведения:

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 4 + 9 - 2 \cdot 9 = 8 + 9 - 18 = -1$$

Ответ: -1