Вычислите $$\frac{(4+\sqrt{15})^{\frac{1}{2}}+(4-\sqrt{15})^{\frac{1}{2}}-2(3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2}}$$.

Обозначим:

$$ a = (4+\sqrt{15})^{\frac{1}{2}}, b = (4-\sqrt{15})^{\frac{1}{2}}, c = (3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} $$

Тогда выражение примет вид:

$$ \frac{a+b-2c}{\sqrt{2}} $$

Найдем значения a, b и c, предварительно избавившись от иррациональности в знаменателе:

$$ a^2 = 4+\sqrt{15}, b^2 = 4-\sqrt{15}, c^2 = 3-\sqrt{5} $$

Заметим, что

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (4+\sqrt{15}) + 2\sqrt{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})} + (4-\sqrt{15}) = 8 + 2\sqrt{16-15} = 8+2 = 10 $$

Тогда,

$$ a+b = \sqrt{10} $$

Аналогично найдем значение для c:

$$ (3-\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} = c $$ $$ c = \sqrt{3-\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} $$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$$ \frac{\sqrt{10} - 2(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} - \frac{2(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}-1}{1} = \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 = 1 $$

Ответ: 1