1. Вычислите$$\frac{6^4}{42\cdot9^3}+\frac{1}{2}\cdot(1+\frac{1}{3})^2$$.

Вычислим значение выражения по действиям:

1. $$\frac{6^4}{42 \cdot 9^3} = \frac{6^4}{42 \cdot (3^2)^3} = \frac{6^4}{42 \cdot 3^6} = \frac{(2 \cdot 3)^4}{42 \cdot 3^6} = \frac{2^4 \cdot 3^4}{42 \cdot 3^6} = \frac{16}{42 \cdot 3^2} = \frac{16}{42 \cdot 9} = \frac{16}{378} = \frac{8}{189}$$
2. $$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$
3. $$(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$$
4. $$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{2 \cdot 9} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$$
5. $$\frac{8}{189} + \frac{8}{9} = \frac{8}{189} + \frac{8 \cdot 21}{9 \cdot 21} = \frac{8}{189} + \frac{168}{189} = \frac{8 + 168}{189} = \frac{176}{189}$$

Ответ:$$\frac{176}{189}$$