11) Вычислите: $$\frac{12^7}{2^5 \cdot 6^6} = ?$$

Для решения этого примера, нам нужно упростить выражение, используя свойства степеней и разложения чисел на простые множители.

Сначала разложим 12 и 6 на простые множители: $$12 = 2^2 \cdot 3$$ и $$6 = 2 \cdot 3$$.

Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{(2^2 \cdot 3)^7}{2^5 \cdot (2 \cdot 3)^6}$$.

Используем свойство степени произведения: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$.

Тогда $$\frac{(2^2 \cdot 3)^7}{2^5 \cdot (2 \cdot 3)^6} = \frac{2^{2\cdot7} \cdot 3^7}{2^5 \cdot 2^6 \cdot 3^6} = \frac{2^{14} \cdot 3^7}{2^{5+6} \cdot 3^6} = \frac{2^{14} \cdot 3^7}{2^{11} \cdot 3^6}$$.

При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $$\frac{2^{14}}{2^{11}} = 2^{14-11} = 2^3$$ и $$\frac{3^7}{3^6} = 3^{7-6} = 3^1 = 3$$.

Теперь наше выражение выглядит так: $$2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$$.