Вычислите: $$(\sqrt{2\frac{2}{3}} - \sqrt{16\frac{2}{3}}):\sqrt{\frac{2}{27}}$$

Для решения данного примера необходимо выполнить несколько шагов:

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

   $$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$16\frac{2}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{50}{3}$$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

   $$(\sqrt{\frac{8}{3}} - \sqrt{\frac{50}{3}}):\sqrt{\frac{2}{27}}$$

3. Избавимся от иррациональности в знаменателе первой скобки:

   $$(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}}):\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$$ $$(\frac{\sqrt{8} - \sqrt{50}}{\sqrt{3}}):\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$$

4. Упростим корни:

   $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$$ $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$ $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

5. Подставим упрощенные корни в выражение:

   $$(\frac{2\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}):\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$$

6. Выполним вычитание в числителе:

   $$(\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}):\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$$

7. Заменим деление умножением на обратную дробь:

   $$\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

8. Сократим дроби:

   $$\frac{-3\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{3}}} \cdot \frac{3\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{2}}} = -3 \cdot 3 = -9$$

Ответ: -9