Решение:

Прежде всего, вспомним свойства степеней, которые нам понадобятся:

• $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
• $$a^m : a^n = a^{m-n}$$
• $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Теперь упростим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: $$(5^4)^5 : (5^2)^4 = 5^{4 \cdot 5} : 5^{2 \cdot 4} = 5^{20} : 5^8 = 5^{20-8} = 5^{12}$$

Знаменатель: $$5 \cdot (5^5)^2 = 5^1 \cdot 5^{5 \cdot 2} = 5^1 \cdot 5^{10} = 5^{1+10} = 5^{11}$$

Теперь выполним деление: $$\frac{5^{12}}{5^{11}} = 5^{12-11} = 5^1 = 5$$

Ответ: 5