Вычислите $$\frac{125^2 \cdot 5^6}{25^4}$$.

Для решения этого примера, нужно представить все числа как степени числа 5.

Представим 125, 25 как степени числа 5:

$$125 = 5^3$$

$$25 = 5^2$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{(5^3)^2 \cdot 5^6}{(5^2)^4}$$

Воспользуемся свойством степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$\frac{5^{3 \cdot 2} \cdot 5^6}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^8}$$

Воспользуемся свойством степеней $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{5^{6+6}}{5^8} = \frac{5^{12}}{5^8}$$

Воспользуемся свойством степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$5^{12-8} = 5^4$$

$$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$$