Вычислите $$A^2$$, если $$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 5 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

Для вычисления $$A^2$$, нужно умножить матрицу A на саму себя: $$A^2 = A \cdot A$$

$$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 5 & 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 5 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

Выполняем умножение матриц:

• Первая строка, первый столбец: $$(3 \cdot 3) + (5 \cdot 3) + (1 \cdot 5) = 9 + 15 + 5 = 29$$
• Первая строка, второй столбец: $$(3 \cdot 5) + (5 \cdot 4) + (1 \cdot 5) = 15 + 20 + 5 = 40$$
• Первая строка, третий столбец: $$(3 \cdot 1) + (5 \cdot 3) + (1 \cdot 3) = 3 + 15 + 3 = 21$$
• Вторая строка, первый столбец: $$(3 \cdot 3) + (4 \cdot 3) + (3 \cdot 5) = 9 + 12 + 15 = 36$$
• Вторая строка, второй столбец: $$(3 \cdot 5) + (4 \cdot 4) + (3 \cdot 5) = 15 + 16 + 15 = 46$$
• Вторая строка, третий столбец: $$(3 \cdot 1) + (4 \cdot 3) + (3 \cdot 3) = 3 + 12 + 9 = 24$$
• Третья строка, первый столбец: $$(5 \cdot 3) + (5 \cdot 3) + (3 \cdot 5) = 15 + 15 + 15 = 45$$
• Третья строка, второй столбец: $$(5 \cdot 5) + (5 \cdot 4) + (3 \cdot 5) = 25 + 20 + 15 = 60$$
• Третья строка, третий столбец: $$(5 \cdot 1) + (5 \cdot 3) + (3 \cdot 3) = 5 + 15 + 9 = 29$$

Получаем матрицу $$A^2$$:

$$A^2 = \begin{pmatrix} 29 & 40 & 21 \\ 36 & 46 & 24 \\ 45 & 60 & 29 \end{pmatrix}$$

Ответ:

$$A^2 = \begin{pmatrix} 29 & 40 & 21 \\ 36 & 46 & 24 \\ 45 & 60 & 29 \end{pmatrix}$$