Решение задач:

Задача №1

а) Вычислим значение выражения $$\sqrt{0.04 \cdot 81 \cdot 125}$$.

$$\sqrt{0.04 \cdot 81 \cdot 125} = \sqrt{\frac{4}{100} \cdot 81 \cdot 125} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 81 \cdot 125} = \sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$$

Ответ: $$9\sqrt{5}$$

б) Вычислим значение выражения $$(\sqrt{31} + \sqrt{5})(\sqrt{31} - \sqrt{5})$$.

Применим формулу разности квадратов: $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$.

$$(\sqrt{31} + \sqrt{5})(\sqrt{31} - \sqrt{5}) = (\sqrt{31})^2 - (\sqrt{5})^2 = 31 - 5 = 26$$

Ответ: 26

Задача №2

а) Решим квадратное уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$.

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$.

Ответ: $$x_1 = 7$$, $$x_2 = 1$$

б) Решим квадратное уравнение $$4x^2 - 9 = 0$$.

Выразим $$x^2$$: $$4x^2 = 9$$, $$x^2 = \frac{9}{4}$$.

Найдем корни: $$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}$$.

Ответ: $$x_1 = \frac{3}{2}$$, $$x_2 = -\frac{3}{2}$$

в) Решим квадратное уравнение $$6x^2 - 18x = 0$$.

Вынесем $$6x$$ за скобки: $$6x(x - 3) = 0$$.

Тогда либо $$6x = 0$$, либо $$x - 3 = 0$$.

Если $$6x = 0$$, то $$x = 0$$. Если $$x - 3 = 0$$, то $$x = 3$$.

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 3$$

Задача №3

Решим уравнение $$\frac{8y - 5}{y} = \frac{9y}{y + 2}$$.

Умножим обе части уравнения на $$y(y + 2)$$, чтобы избавиться от знаменателей, при условии, что $$y
eq 0$$ и $$y
eq -2$$.

$$(8y - 5)(y + 2) = 9y^2$$

Раскроем скобки:

$$8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2$$ $$8y^2 + 11y - 10 = 9y^2$$

Перенесем все в правую часть:

$$0 = 9y^2 - 8y^2 - 11y + 10$$ $$y^2 - 11y + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение $$y^2 - 11y + 10 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$$.

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня.

Найдем корни: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = 10$$ и $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = 1$$.

Оба корня удовлетворяют условиям $$y
eq 0$$ и $$y
eq -2$$.

Ответ: $$y_1 = 10$$, $$y_2 = 1$$