Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ дискриминант вычисляется по формуле: $$D = b^2 - 4ac$$.

Далее мы определим количество корней и их тип в зависимости от значения дискриминанта:

• Если $$D > 0$$, уравнение имеет два различных вещественных корня.
• Если $$D = 0$$, уравнение имеет один вещественный корень (или два совпадающих корня).
• Если $$D < 0$$, уравнение не имеет вещественных корней (корни комплексные).
• Если $$D$$ является полным квадратом, корни рациональные, иначе - иррациональные.

a) $$4x^2 - 12x + 9 = 0$$

Здесь $$a = 4$$, $$b = -12$$, $$c = 9$$.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-12)^2 - 4 cdot 4 cdot 9 = 144 - 144 = 0$$

1) Уравнение имеет корни.

2) Уравнение имеет один корень.

3) Корень рациональный (т.к. $$D = 0$$).

б) $$2x^2 + 3x - 9 = 0$$

Здесь $$a = 2$$, $$b = 3$$, $$c = -9$$.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (3)^2 - 4 cdot 2 cdot (-9) = 9 + 72 = 81$$

1) Уравнение имеет корни.

2) Уравнение имеет два корня.

3) Корни рациональные (т.к. $$D = 81 = 9^2$$).

в) $$5x^2 - x + 2 = 0$$

Здесь $$a = 5$$, $$b = -1$$, $$c = 2.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 cdot 5 cdot 2 = 1 - 40 = -39$$

1) Уравнение не имеет вещественных корней.

2) Корней нет.

3) Корни комплексные.

г) $$x^2 + 7x - 1 = 0$$

Здесь $$a = 1$$, $$b = 7$$, $$c = -1$$.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (7)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1) = 49 + 4 = 53$$

1) Уравнение имеет корни.

2) Уравнение имеет два корня.

3) Корни иррациональные (т.к. $$D = 53$$ не является полным квадратом).