Вычислите длину образующей конуса, если известна площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} = 105\pi ) кв. ед. изм. и угол развертки боковой поверхности конуса ( \alpha = 168^{\circ} ).

Дано: ( S_{\text{бок}} = 105\pi ) ( \alpha = 168^{\circ} ) Найти: ( l ) Решение: Площадь боковой поверхности конуса ( S_{\text{бок}} ) связана с длиной образующей ( l ) и радиусом основания ( r ) формулой: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l \] Угол развертки ( \alpha ) связан с радиусом основания ( r ) и длиной образующей ( l ) соотношением: \[ \frac{\alpha}{360^{\circ}} = \frac{r}{l} \] Из этого соотношения можно выразить радиус ( r ) через ( l ) и ( \alpha ): \[ r = \frac{\alpha}{360^{\circ}} l \] Подставим это выражение для ( r ) в формулу для площади боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = \pi \left( \frac{\alpha}{360^{\circ}} l \right) l = \pi l^2 \frac{\alpha}{360^{\circ}} \] Выразим ( l^2 ) через известные величины: \[ l^2 = \frac{S_{\text{бок}}}{\pi} \frac{360^{\circ}}{\alpha} \] Подставим значения: \[ l^2 = \frac{105\pi}{\pi} \frac{360^{\circ}}{168^{\circ}} = 105 \cdot \frac{360}{168} = 105 \cdot \frac{30}{14} = 105 \cdot \frac{15}{7} = 15 \cdot 15 = 225 \] Извлечем квадратный корень, чтобы найти ( l ): \[ l = \sqrt{225} = 15 \] Ответ: ( l = 15 ) ед. изм. **Ответ: 15** Объяснение: Чтобы найти длину образующей конуса, мы использовали формулу для площади боковой поверхности конуса и связь между углом развертки, радиусом основания и длиной образующей. Выразив радиус через длину образующей и угол развертки, мы подставили это в формулу площади и нашли значение длины образующей.