Вычислите двойной интеграл \(\iint_{D} (x+y) dxdy\), где область интегрирования \(D\) задана как \(0 \le x \le 1\) и \(0 \le y \le 1\).

Решение: 1. Вычисляем внутренний интеграл по \(x\) от 0 до 1: \[ \int_{0}^{1} (x+y) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + y \] 2. Вычисляем внешний интеграл по \(y\) от 0 до 1: \[ \int_{0}^{1} (\frac{1}{2} + y) dy = \left[ \frac{1}{2}y + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Ответ: 1 Развёрнутый ответ: Для вычисления двойного интеграла \(\iint_{D} (x+y) dxdy\) по области \(D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}\), сначала интегрируем функцию \(f(x, y) = x + y\) по переменной \(x\) в пределах от 0 до 1, а затем интегрируем результат по переменной \(y\) также в пределах от 0 до 1. Сначала мы находим внутренний интеграл \(\int_{0}^{1} (x+y) dx\), который равен \(\frac{1}{2} + y\). Затем мы интегрируем это выражение по \(y\) от 0 до 1, что дает нам \(\int_{0}^{1} (\frac{1}{2} + y) dy = 1\). Таким образом, значение двойного интеграла равно 1.