Вычислите интеграл: $$\int \frac{dx}{\cos^2 3x}$$

Для решения этого интеграла, вспомним, что интеграл от функции $$\frac{1}{\cos^2 x}$$ равен $$\tan x + C$$, где C - константа интегрирования. В нашем случае, у нас есть функция $$\frac{1}{\cos^2 3x}$$. Чтобы вычислить этот интеграл, можно использовать замену переменной. Пусть $$u = 3x$$, тогда $$du = 3dx$$, и $$dx = \frac{1}{3}du$$. Теперь перепишем интеграл в терминах $$u$$: $$\int \frac{dx}{\cos^2 3x} = \int \frac{1}{\cos^2 u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos^2 u} du$$ Теперь мы знаем, что $$\int \frac{1}{\cos^2 u} du = \tan u + C$$. Подставляем это обратно в наше выражение: $$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos^2 u} du = \frac{1}{3} (\tan u + C) = \frac{1}{3} \tan u + \frac{1}{3}C$$ Так как $$u = 3x$$, подставим это обратно: $$\frac{1}{3} \tan (3x) + \frac{1}{3}C$$ Поскольку $$\frac{1}{3}C$$ это просто другая константа, мы можем записать её как $$C$$: $$\frac{1}{3} \tan (3x) + C$$ Таким образом, интеграл равен $$\frac{1}{3} \tan 3x + C$$. Сравнивая с предложенными вариантами ответов, правильный ответ: 4) $$\frac{1}{3} \tan 3x + C$$ Ответ: 4) $$\frac{1}{3} \tan 3x + C$$