Вычислите интеграл: $$\int_{0}^{2} \sqrt[5]{4x^3} dx$$

Для вычисления данного интеграла, необходимо сначала упростить подынтегральное выражение, а затем найти первообразную и вычислить интеграл в пределах от 0 до 2. Шаг 1: Преобразуем подынтегральное выражение. $$\sqrt[5]{4x^3} = (4x^3)^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{1}{5}} x^{\frac{3}{5}}$$ Шаг 2: Вычислим интеграл. $$\int_{0}^{2} 4^{\frac{1}{5}} x^{\frac{3}{5}} dx = 4^{\frac{1}{5}} \int_{0}^{2} x^{\frac{3}{5}} dx$$ Теперь найдем первообразную для $$x^{\frac{3}{5}}$$: $$\int x^{\frac{3}{5}} dx = \frac{x^{\frac{3}{5} + 1}}{\frac{3}{5} + 1} + C = \frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + C = \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C$$ Шаг 3: Подставим пределы интегрирования: $$4^{\frac{1}{5}} \left[ \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} \right]_0^2 = 4^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{8} \left( 2^{\frac{8}{5}} - 0^{\frac{8}{5}} \right) = 4^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8} \cdot (4 \cdot 2^3)^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{3}{5}}$$ $$\frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8} \cdot (2^2)^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8} \cdot 2^{\frac{10}{5}} = \frac{5}{8} \cdot 2^2 = \frac{5}{8} \cdot 4 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$$ Ответ: 2.5