Вычислите объём шарового сегмента, если шар пересечён плоскостью, диаметр окружности сечения равен 12 см, а радиус шара равен 10 см. Ответ округлите до сотых.

Для решения этой задачи нам понадобится формула объема шарового сегмента: $$V = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h)$$, где $$V$$ - объем шарового сегмента, $$R$$ - радиус шара, $$h$$ - высота шарового сегмента. Сначала найдем высоту шарового сегмента $$h$$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, радиусом основания сегмента и отрезком, соединяющим центр шара с центром основания сегмента. Пусть $$r$$ - радиус окружности сечения, тогда $$r = \frac{12}{2} = 6$$ см. Из теоремы Пифагора найдем расстояние $$d$$ от центра шара до плоскости сечения: $$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ см. Теперь найдем высоту шарового сегмента $$h$$. Так как рассматривается меньший сегмент, то $$h = R - d = 10 - 8 = 2$$ см. Подставим известные значения в формулу для объема шарового сегмента: $$V = \frac{\pi \cdot 2^2}{3} (3 \cdot 10 - 2) = \frac{4\pi}{3} (30 - 2) = \frac{4\pi}{3} \cdot 28 = \frac{112\pi}{3} \approx 117.29$$ см$$^3$$. Ответ: 117.29 π см³