Вычислите определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{0}^{\frac{1}{26}} \sqrt{1 - 26x} \, dx.$$

Для вычисления определённого интеграла $$\int_{0}^{\frac{1}{26}} \sqrt{1 - 26x} \, dx$$ используем формулу Ньютона-Лейбница. 1. Найдём неопределённый интеграл: Пусть $$u = 1 - 26x$$, тогда $$du = -26 \, dx$$ и $$dx = -\frac{1}{26} \, du$$. Тогда интеграл примет вид: $$\int \sqrt{u} \, (-\frac{1}{26}) \, du = -\frac{1}{26} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = -\frac{1}{26} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{26} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{39} u^{\frac{3}{2}} + C$$ Подставляем обратно $$u = 1 - 26x$$: $$-\frac{1}{39} (1 - 26x)^{\frac{3}{2}} + C$$ 2. Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{0}^{\frac{1}{26}} \sqrt{1 - 26x} \, dx = \left[ -\frac{1}{39} (1 - 26x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{\frac{1}{26}}$$ Подставляем верхний предел: $$-\frac{1}{39} \left(1 - 26 \cdot \frac{1}{26}\right)^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{39} (1 - 1)^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{39} \cdot 0 = 0$$ Подставляем нижний предел: $$-\frac{1}{39} (1 - 26 \cdot 0)^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{39} (1)^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{39}$$ Вычисляем разность: $$0 - \left(-\frac{1}{39}\right) = \frac{1}{39}$$ Таким образом, $$\int_{0}^{\frac{1}{26}} \sqrt{1 - 26x} \, dx = \frac{1}{39}$$ Ответ: $$\frac{1}{39}$$ Ответ: 1/39