Вычислите острый угол между диагоналями прямоугольника, если перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 4:1.

Решение: 1. **Определение углов:** Пусть данный прямоугольник ABCD, и из вершины C к диагонали AC проведён перпендикуляр CE. По условию, этот перпендикуляр делит прямой угол \(\angle BCD\) в отношении 4:1. Это означает, что \(\angle DCE = x\) и \(\angle BCE = 4x\), где \(x\) – некоторая угловая мера. Так как \(\angle BCD = 90^\circ\), то \[x + 4x = 90^\circ\] \[5x = 90^\circ\] \[x = 18^\circ\] Следовательно, \(\angle DCE = 18^\circ\) и \(\angle BCE = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ\). 2. **Нахождение угла \(\angle CAD\):** Рассмотрим треугольник \(\triangle ADC\). В этом треугольнике \(\angle ADC = 90^\circ\), \(\angle DCE = 18^\circ\). Так как \(CE \perp AD\), то \(\angle CED = 90^\circ\). Теперь найдём \(\angle CAD\). \(\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD\). Также, \(\angle ACD = \angle DCE = 18^\circ\). Поэтому \(\angle CAD = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\). 3. **Нахождение угла между диагоналями:** Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOD\). В этом треугольнике \(\angle OAD = \angle CAD = 72^\circ\) и \(\angle ODA = \angle ADB\). Так как \(\angle ADB = \angle CAD\) (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC), то \(\angle ODA = 18^\circ\). Тогда \(\angle AOD\) (угол между диагоналями) можно найти как: \(\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA)\) \(\angle AOD = 180^\circ - (72^\circ + 18^\circ)\) \(\angle AOD = 180^\circ - 90^\circ\) \(\angle AOD = 90^\circ\). Угол \(\angle AOD = 90^\circ\), поэтому смежный с ним угол (который также является углом между диагоналями) равен 90 градусов. Поэтому острый угол между диагоналями равен 72 градуса Ответ: 72