Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: $$y = x^2 + 2$$, $$x = -2$$, $$x = 1$$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $$y = x^2 + 2$$ и прямыми $$x = -2$$ и $$x = 1$$, необходимо вычислить определенный интеграл функции на заданном интервале.

Площадь вычисляется по формуле: $$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2) dx$$

Вычислим интеграл:

$$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2) dx = \left[\frac{x^3}{3} + 2x\right]_{-2}^{1}$$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$$S = \left(\frac{1^3}{3} + 2(1)\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)\right) = \left(\frac{1}{3} + 2\right) - \left(-\frac{8}{3} - 4\right)$$

$$S = \frac{1}{3} + 2 + \frac{8}{3} + 4 = \frac{1 + 8}{3} + 6 = \frac{9}{3} + 6 = 3 + 6 = 9$$

Площадь закрашенной фигуры равна 9 квадратным единицам.