Вычислите радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь треугольника со сторонами 11 дм, 13 дм и 20 дм.

Для решения этой задачи нам понадобится формула Герона для нахождения площади треугольника, а также формулы, связывающие площадь треугольника с радиусами описанной и вписанной окружностей.

1. Вычисление площади треугольника по формуле Герона:

Пусть стороны треугольника равны $$a = 11$$ дм, $$b = 13$$ дм, $$c = 20$$ дм.

Полупериметр $$p$$ равен:

$$ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11 + 13 + 20}{2} = \frac{44}{2} = 22 \text{ дм} $$

Площадь $$S$$ треугольника по формуле Герона:

$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2} = 2 \cdot 11 \cdot 3 = 66 \text{ дм}^2 $$

2. Вычисление радиуса описанной окружности $$R$$:

Формула для радиуса описанной окружности:

$$ R = \frac{abc}{4S} $$

Подставляем значения:

$$ R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 66} = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 6 \cdot 11} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6} \approx 10.83 \text{ дм} $$

3. Вычисление радиуса вписанной окружности $$r$$:

Формула для радиуса вписанной окружности:

$$ r = \frac{S}{p} $$

Подставляем значения:

$$ r = \frac{66}{22} = 3 \text{ дм} $$

Ответы:

Радиус описанной окружности: $$R \approx 10.83$$ дм

Радиус вписанной окружности: $$r = 3$$ дм

Площадь треугольника: $$S = 66$$ дм²